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圆的知识点概念公式大全

发布时间:2020-08-09 11:51 作者:金宝搏

  圆的知识点概念公式大全_数学_小学教育_教育专区。圆的知识点概念公式大全 一. 圆的定义 1.在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的 图形叫圆.这个固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径.以 O

  圆的知识点概念公式大全 一. 圆的定义 1.在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的 图形叫圆.这个固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径.以 O 点为圆心的圆记 作⊙O,读作圆 O. 2.圆是在一个平面内,所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形. 3.确定圆的条件:⑴圆心;⑵半径,其中圆心确定圆的位置,半径长确定圆的大小. 二. 同圆、同心圆、等圆 1.圆心相同且半径相等的圆叫做同圆; 2.圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆; 3.半径相等的圆叫做等圆. 三.弦和弧 1.连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径,并且直径是同一圆中最 长的弦,直径等于半径的 2 倍. 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以 A、B 为端点的弧记作 ?AB ,读作弧 AB. 在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧. 3.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.在一个圆中 大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧. 4.从圆心到弦的距离叫做弦心距. 5.由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 四.与圆有关的角及相关定理 1.顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为 360 等份,每一份的弧对应1? 的圆心角, 我们也称这样的弧为1? 的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 2.顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对 的圆心角的一半. 推论 1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角, 90? 的圆周角所对的弦是直径. (在同圆中,半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角) 3.顶点在圆内,两边与圆相交的角叫圆内角. 圆内角定理:圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半. 4.顶点在圆外,两边与圆相交的角叫圆外角. 圆外角定理:圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一 半. 5.圆内接四边形的对角互补,一个外角等于其内对角. 6.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 7.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等. 五.垂径定理 1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 2.其它正确结论: ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 3.知二推三: ⑴直径或半径;⑵垂直弦;⑶平分弦;⑷平分劣弧;⑸平分优弧. 以上五个条件知二推三.注意:在由⑴⑶推⑵⑷⑸时,要注意平分的弦非直径. 4.常见辅助线做法: ⑴过圆心,作垂线,连半径,造 RT△ ,用勾股,求长度; ⑵有弧中点,连中点和圆心,得垂直平分. 相关题目: 1.平面内有一点到圆上的最大距离是 6,最小距离是 2,求该圆的半径 2.(08 郴州)已知在⊙O 中,半径 r ? 5 , AB,CD 是两条平行弦,且 AB ? 8,CD ? 6 , 则弦 AC 的长为__________. 解: 2 ,5 2 ,7 2 . 六.点与圆的位置关系 1.点与圆的位置有三种: ⑴点在圆外 ? d ? r ;⑵点在圆上 ? d ? r ;⑶点在圆内 ? d ? r . 如下表所示: 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 r P 点在圆的外部 d ? r ? 点 P 在⊙O 的外部. O 点在圆上 r P O 点在圆周上 d ? r ? 点 P 在⊙O 的圆周上. 点在圆内 rP O 点在圆的内部 d ? r ? 点 P 在⊙O 的内部. 2.过已知点作圆 ⑴经过点 A 的圆:以点 A 以外的任意一点 O 为圆心,以 OA 的长为半径,即可作出 过点 A 的圆,这样的圆有无数个. ⑵经过两点 A、B 的圆:以线段 AB 中垂线上任意一点 O 作为圆心,以 OA 的长为半 径,即可作出过点 A、B 的圆,这样的圆也有无数个. ⑶过三点的圆:若这三点 A、B、C 共线时,过三点的圆不存在;若 A、B、C 三点 不共线时,圆心是线段 AB 与 BC 的中垂线的交点,而这个交点 O 是唯一存在的, 这样的圆有唯一一个. ⑷过 n ?n ≥ 4? 个点的圆:只可以作 0 个或1个,当只可作一个时,其圆心是其中不 共线三点确定的圆的圆心. 3.定理:不在同一直线上的三点确定一个圆. 注意:⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三 点不能作圆; ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”. 4.三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂 直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形. ⑵三角形外心的性质: ①三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三 角形各顶点的距离相等; ②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一 个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部(如图 1);直角三角形外接圆的圆心在斜边 中点 处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半,如图 2);钝角三角形外接圆的圆 心在 它的外部(如图 3). A A A O B B C B C O O C 图1 图2 图3 五.直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设⊙O 的半径为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d ,则直线和圆的位置关系如下表: 位置 关系 图形 定义 性质及判定 相离 相切 相交 rO d l r O d l 直线与圆没有公共点 d ? r ? 直线 l 与⊙O 相离 直线与圆有唯一公共点,直线 叫做圆的切线,公共点叫做切 点 d ? r ? 直线 l 与⊙O 相切 r 直线与圆有两个公共点,直线 d O l 叫做圆的割线 d ? r ? 直线 l 与⊙O 相交 从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示: 直线和圆的位置关系 相交 相切 公共点个数 2 1 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关 系 d ?r d ?r 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 d ?r — — 四.切线. 切线的性质: 定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线:经过切点且垂直于切线. 切线的判定 定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; 距离法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线; 定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线. 切线长和切线长定理: ⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切 线长. ⑵ 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角. 五.三角形内切圆 1. 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的 内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. 2. 多边形内切圆:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,该多边形叫做圆 的外切多边形. 六.圆和圆的位置关系的定义、性质及判定 设⊙O1、⊙O2 的半径分别为 R、r (其中 R ? r ),两圆圆心距为 d ,则两圆位置关系如 下表: 位置关 系 图形 定义 性质及判定 外离 两个圆没有公共点,并且每 个圆上的点都在另一个圆的 外部. d ? R ? r ?两圆外 离 外切 相交 内切 内含 两个圆有唯一公共点,并且 除了这个公共点之外,每个 圆上的点都在另一个圆的外 部. d ? R ? r ?两圆外 切 两个圆有两个公共点. R?r ?d ? R?r ?两 圆相交 两个圆有唯一公共点,并且 除了这个公共点之外,一个 圆上的点都在另一个圆的内 部. d ? R ? r ? 两圆内 切 两个圆没有公共点,并且一 个圆上的点都在另一个圆的 内部,两圆同心是两圆内含 的一种特例. 0 ? d ? R ? r ? 两圆 内含 说明:圆和圆的位置关系,又可分为三大类:相离、相切、相交,其中相离两圆没有公 共点,它包括外离与内含两种情况;相切两圆只有一个公共点,它包括内切与外切两种 情况. 七.正多边形与圆 1. 正多边形的定义:各条边相等,并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 2. 正多边形的相关概念: ⑴ 正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. ⑵ 正多边形的半径:正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. ⑶ 正多边形的中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. ⑷ 正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 3. 正多边形的性质: ⑴正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形; ⑵正多边形都是轴对称图形,正 n 边形共有 n 条通过正 n 边形中心的对称轴; ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形,也是中心对称图形,其中心就是对称中心. 八、圆中计算的相关公式 设⊙O 的半径为 R , n? 圆心角所对弧长为 l , 1. 弧长公式: l ? nπR 180 2. 扇形面积公式: S扇形 ? n 360 πR2 ? 1 2 lR 3. 圆柱体表面积公式: S ? 2πR2 ? 2πRh 4. 圆锥体表面积公式: S ? πR2 ? πRl ( l 为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法: ① 公式法;② 割补法;③ 拼凑法;④ 等积变换法


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